一些约定

我们采用如下单位制, 其中光速的大小, 真空介电常数, 真空磁导率的值均为 $1$, \begin{equation*} \begin{aligned} & c = 1;\\ & \varepsilon_0 = 1;\\ & \mu_0 = 1. \end{aligned} \end{equation*} 对于 Minkowski 度规, 我们采用东海岸约定, 即约定 Minkowski 度规的号差为 $+ 2$, \begin{equation*} \begin{aligned} \eta_{\mu \nu} = \diag{-1,1,1,1}. \end{aligned} \end{equation*}

Poincaré 不变性

狭义相对论假定, 描述物理规律的方程是 Poincaré 协变的, 即在如下坐标变换下方程的形式不变,
\begin{equation*} x^\mu \mapsto {\Lambda^\mu}_\nu x^\nu + c^\mu, \end{equation*}
其中 ${\Lambda^\mu}_\nu$ 为 Lorentz 群 $\mathrm{O} \qty(1,3)$ 中的元素,
\begin{equation*} \eta_{\rho \sigma} {\Lambda^\rho}_\mu {\Lambda^\sigma}_\nu = \eta_{\mu \nu}; \end{equation*}
而 $c^\mu$ 为 $4$ 维平移群中的元素,
\begin{equation*} \qty(c^0,c^1,c^2,c^3) \in \mathbb{R}^4. \end{equation*}

$\mathrm{U} \qty(1)$ 不变性

电动力学假定, 电磁相互作用是一种 $\mathrm{U} \qty(1)$ 规范相互作用. 电磁场除了具有 Poincaré 协变性外, 还具有局域 $\mathrm{U} \qty(1)$ 不变性. 即, 假设物质场为 $\phi^a$, 其保持局域 $\mathrm{U} \qty(1)$ 不变性的相应协变导数 $D_\mu$ 为
\begin{equation*} D_\mu = \partial_\mu – \ii e A_\mu, \end{equation*}
其中 $A_\mu$ 为主 – $\mathrm{U} \qty(1)$ 丛的规范联络 $\tilde{A}$ 被局域截面 $\sigma_U$ 相应的拉回映射 $\sigma^\ast_U$ 拉回到作为底流形的时空上的 $1$ 形式 $A = A_\mu \dd{x^\mu}$ 的分量, 在物理上被解释为电磁势. $A_\mu$ 相应的规范曲率 $F_{\mu \nu}$ 在物理上被解释为电磁场,
\begin{equation*} F_{\mu \nu} = \partial_\mu A_\nu – \partial_\nu A_\mu + \qty[A_\mu,A_\nu]. \end{equation*}
由于 $A_\mu$ 是取值于 Lie 代数 $\mathfrak{u} \qty(1)$ 的 $1$ 形式分量, 而 $\mathfrak{u} \qty(1)$ 是 $1$ 维 Lie 代数, 因而 $\qty[A_\mu,A_\nu] = 0$. 所以电磁场可写为
\begin{equation*} F_{\mu \nu} = \partial_\mu A_\nu – \partial_\nu A_\mu. \end{equation*}

经典自由电磁场的运动

根据 Yang-Mills 规范场论, 规范场的作用量为
\begin{equation*} S_{\mathrm{YM}} = -\frac{1}{4} \int \dd[4]x \tr \qty(F^{\mu \nu} F_{\mu \nu}). \end{equation*}
由于电磁相互作用的规范群为 $1$ 维的 $\mathrm{U} \qty(1)$ 群, 因此在 Lie 代数 $\mathfrak{u} \qty(1)$ 的正交归一基下有 $\tr \qty(F^{\mu \nu} F_{\mu \nu}) = F^{\mu \nu} F_{\mu \nu}$. 从而
\begin{equation*} S_{\mathrm{YM}} = -\frac{1}{4} \int \dd[4]x F^{\mu \nu} F_{\mu \nu}. \end{equation*}
由经典的 Hamilton 作用量原理即可得到电磁场的运动方程,
\begin{equation*} \partial_\mu F^{\mu \nu} = 0. \end{equation*}

经典电磁相互作用的唯象理论

假设物质场具有整体 $\mathrm{U} \qty(1)$ 规范不变性. 即在整体 $\mathrm{U} \qty(1)$ 变换 $\phi^a \mapsto \ee^{\ii e \theta} \phi^a$ 下, 物质场的作用量不变. 则可由 Noether 定理得到守恒流
\begin{equation*} J^\mu = \ii e \dfrac{\delta S_{\mathrm{m}} \qty[\phi,\partial \phi]}{\delta \partial_\mu \phi^a} \phi^a, \end{equation*}
其中 $S_{\mathrm{m}} \qty[\phi,\partial \phi]$ 为自由物质场 $\phi^a$ 的作用量. 守恒流 $J^\mu$ 满足守恒律,
\begin{equation*} \partial_\mu J^\mu = 0. \end{equation*}
物质场与电磁场的耦合被唯象地写为
\begin{equation*} S_{\mathrm{int}} = \int \dd[4]x \tr \qty(J^\mu A_\mu) = \int \dd[4]x J^\mu A_\mu. \end{equation*}

经典电磁理论中的 Maxwell-Heaviside 方程

由经典电磁相互作用的唯象理论, 可以写出完整的唯象做用量, \begin{equation*} S_{\mathrm{EM}} = \int \dd[4]x \tr \qty(-\frac{1}{4} F^{\mu \nu} F_{\mu \nu} + J^\mu A_\mu) = \int \dd[4]x \qty(-\frac{1}{4} F^{\mu \nu} F_{\mu \nu} + J^\mu A_\mu). \end{equation*} 由经典的 Hamilton 做用量原理即可得到电磁场与物质场耦合的动力学方程, \begin{equation*} \partial_\nu F^{\nu \mu} = J^\mu. \end{equation*} 此外, 电磁场作为主 – $\mathrm{U} \qty(1)$ 丛上的规范曲率被拉回到时空的 $2$ 形式, 在几何上满足 Bianchi 恒等式, \begin{equation*} \partial_\mu F_{\rho \sigma} + \partial_\rho F_{\sigma \mu} +\partial_\sigma F_{\mu \rho} = 0. \end{equation*} 以上两式即为经典电磁理论的 Maxwell-Heaviside 方程.

导体的 Ohm 定律

一类简单的物质场被称为导体, 其中导体的 $4$ 速场 $1$ 形式 $U_\mu \dd x^\mu$ 与导体中的电流 $1$ 形式 $J_\mu \dd x^\mu$ 的外积 $\frac{1}{2} \qty(U_\mu J_\nu – U_\nu J_\mu) \dd x^\mu \wedge \dd x^\nu$ 和电磁场 $\frac{1}{2} F_{\mu \nu} \dd x^\mu \wedge \dd x^\nu$ 之间满足关系
\begin{equation*} U_\mu J_\nu – U_\nu J_\mu = \sigma F_{\mu \nu}, \end{equation*}
其中 $\sigma$ 被称为导体的电导率, 可由动理学中的线性响应理论计算出来, 在经典电动力学中一般将其作为一个唯象系数. 上述比例关系被称为导体的 Ohm 定律. 其他物质场中电流 $J^\mu$ 与电磁场 $F_{\mu \nu}$ 之间的本构关系也可由微观的动理学理论计算出来. 再由时空的边界条件和初始条件即可求解 Maxwell-Heaviside 方程.