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模板一

左文右图下引用

 \begin{frame}{这是ppt帧标题}                                                                            
   \begin{columns}
     \begin{column}{.48\paperwidth}                                                                      
       \begin{outline}                                                                                   
         \1[A] 这是一级\footnote[math]{\fullcite{2014MHD}
         \2 这是二极                                                                                     
         \1[B] 这又是一级\footnote[math]{\fullcite{1965braginskii}                                                                   
       \end{outline}
     \end{column}
     \begin{center}
       \vrule
     \end{center}
     \begin{column}{.48\paperwidth}                                                                      
     \includegraphics[width=0.40\paperwidth]{./test.png}                                                 
 
     this is a caption\footnote[math]{\fullcite{xi2013impact}
     \end{column}
   \end{columns}                                                                                         
   \addtocounter{footnote}{-3}                                                                           
   \stepcounter{footnote}.}                                              
   \stepcounter{footnote}.}                                       
   \stepcounter{footnote}.}                                         
 \end{frame}

模板二

公式推导与说明

 \begin{frame}[fragile]{矢量场的散度(引入Christoffel符号)}
     
     \begin{columns}
         \begin{column}{.38\paperwidth}
             将散度$\nabla \cdot$定义为$\vb*e^i \cdot \pdv{\qty()}{x^i}$，可得$\vb*u$的散度：
             \begin{align*}
                 \nabla \cdot \vb*u &= \vb*e^i \cdot \pdv{}{x^i}\qty(u^j \vb*e_j) \\
                                    &= \pdv{u^i}{x^i} + \vb*e^i \cdot u^j\pdv{\vb*e_j}{x^i}
             \end{align*}
             引入Christoffel符号定义
             $$
             \pdv{\vb*e_j}{x^i}=\Gamma^k_{ij}\vb*e_k
             $$
             则有
             \begin{align*}
             \nabla \cdot \vb*u &= \pdv{u^i}{x^i} + u^j \vb*e^i \cdot \vb*e_k \Gamma^k_{ij} \\
                                &= \pdv{u^i}{x^i} + u^j \Gamma^i_{ij}
             \end{align*}
 
         \end{column}
         \begin{center}
             \vrule
         \end{center}
         \begin{column}{.58\paperwidth}
             \begin{mybox}{$\Gamma^i_{ij}$表达式证明}
                 \begin{align*}
                     \pdv{V}{x^i} =& \pdv{}{x^i} \qty[\vb*e_1 \cdot \qty(\vb*e_2 \cross \vb*e_3)] \\
                                  =& \pdv{\vb*e_1}{x^i} \cdot \qty(\vb*e2 \cross \vb*e3) +
                                     \vb*e_1 \cdot \qty(\pdv{\vb*e_2}{x^i} \cross \vb*e_3) +
                                     \vb*e_1 \cdot \qty(\vb*e_2 \cross \pdv{\vb*e_3}{x^i}) \\
                                  =& \Gamma^j_{1i} \vb*e_j \cdot \qty(\vb*e2 \cross \vb*e3) +
                                     \vb*e_1 \cdot \qty(\Gamma^k_{2i} \vb*e_k \cross \vb*e_3)
                                     + \vb*e_1 \cdot \qty(\vb*e_2 \cross \Gamma^m_{3m} \vb*e_m) \\
                                  =& \qty(\Gamma^1_{1i} + \Gamma^2_{2i} + \Gamma^3_{3i}) V \\
                                  =& \Gamma^j_{ji} V
                 \end{align*}
             \end{mybox}
             所以有
                 $$\nabla \cdot \vb*u = \pdv{u^i}{x^i} + \frac{u^i}{V}\pdv{V}{x^i}$$
                 与上页结论相同。
         \end{column}
     \end{columns}
 \end{frame}

模板三

代码与解释

 \begin{frame}[fragile]{拉普拉斯算符$\nabla^2$}
     
     \begin{columns}
         \begin{column}{.48\paperwidth}
             综合前面的$\nabla \cdot \vb*u$和$\nabla \phi$的表达式。
             \begin{align*}
                 \nabla^2 \phi =& \nabla \cdot \nabla \phi = \nabla \cdot \qty(\pdv{\phi}{x^i} \vb*e^i) \\
                               =& \nabla \cdot \qty(\pdv{\phi}{x^i} g^{ik} \vb*e_k) 
             \end{align*}
             其中可以将$\pdv{\phi}{x^i} g^{ik}$视为$u^k$，将$\nabla \cdot \vb*u$的表达式带入有
             \begin{align*}
                 \nabla \cdot \nabla \phi =& \nabla \cdot \vb*u
                 = \pdv{u^k}{x^k} + \frac{u^k}{V} \pdv{V}{x^k} \\
                 =& \pdv{}{x^k}\qty(\pdv{\phi}{x^i}g^{ik}) + \pdv{\phi}{x^i}\frac{g^{ij}}{V}\pdv{V}{x^k} \\
                 =& \pdv{\phi}{x^k}{x^i} g^{ik} + \pdv{\phi}{x^i} \pdv{g^{ik}}{x^k} + \pdv{\phi}{x^i}\frac{g^{ik}}{V}\pdv{V}{x^k} \\
                 =& \pdv{\phi}{x^k}{x^i} g^{ik} + \frac{1}{V}\pdv{\phi}{x^i}\pdv{g^{ik}V}{x^k}
             \end{align*}
         \end{column}
         \begin{center}
             \vrule
         \end{center}
         \begin{column}{.48\paperwidth}
             bout中的变量G1,G2,G3如下所示：
             \begin{cppcode}
                 G1 = (DDX(J*g11) + DDY(J*g12) + DDZ(J*g13))/J;
                 G2 = (DDX(J*g12) + DDY(J*g22) + DDZ(J*g23))/J;
                 G3 = (DDX(J*g13) + DDY(J*g23) + DDZ(J*g33))/J;
             \end{cppcode}
             则有
             $$
             \nabla^2 \phi = g^{ik} \pdv{\phi}{x^i}{x^k} + G1\pdv{\phi}{x} + G2\pdv{\phi}{y} + G3\pdv{\phi}{z}
             $$  
             \begin{align*}
                 \nabla^2 \phi = &g^{11} \pdv[2]{\phi}{x} + g^{22} \pdv[2]{\phi}{y} + g^{33} \pdv[2]{\phi}{z} \\
                               &  + 2\qty(g^{12} \pdv{\phi}{x}{y} + g^{13} \pdv{\phi}{x}{z} + g^{23} \pdv{\phi}{y}{z}) \\
                               &  + G1\pdv{\phi}{x} + G2\pdv{\phi}{y} + G3\pdv{\phi}{z}
             \end{align*}
         \end{column}
     \end{columns}
 \end{frame}