在一个 $d = D + 1$ 维时空中，我们选取了一个（局域的）坐标系 $\qty{x^{\mu}}$，坐标系之选取可以相当任意，一般而言也无法从 “时空” 这一整体中分解出“时间”与“空间”之概念。由此引出一个问题：在何种情况下，可以像狭义相对论中那样，将 $x^{0}$ 当作 “时间” 坐标，将 $x^{i}$ 当作 “空间” 坐标？这就是所谓 “$D + 1$ 分解”。微分几何中早已证明，任意（由经典广义相对论描述之）时空一定存在局域 $D + 1$ 分解（但不一定存在全局 $D + 1$ 分解，时空之拓扑结构可能会导致其不存在，只有所谓 ”整体双曲时空“ 才存在全局 $D + 1$ 分解）。我们之任务便是判断所选之坐标系是否是一个对于 $D + 1$ 分解而言足够好之坐标系。

我们先在 $D$ 维子流形上诱导出一个度规 [1] $\gamma_{ab} = g_{ab} \mp n_{a} n_{b}$，假设我们已经选定了一个“可充当通常之时空坐标”之坐标系，则根据文献 [2]，可知
\begin{equation}\label{eq:诱导度规之分量}
\begin{aligned}
\gamma_{ij} = \pm \qty( g_{ij} – \frac{g_{0i} g_{0j}}{g_{00}}).
\end{aligned}
\end{equation}
不仅可像文献 [2] 那样从微分几何中得到式 \eqref{eq:诱导度规之分量}，还可从较为直观之物理图像得到之。假定已做完 $D + 1$ 分解，考虑两极为接近之空间点 $p$、$q$ 之间之距离 $\dd[]{l}$。为确保其坐标无关性，将其定义于局域瞬时静止之惯性观者系内。假定从 $p$ 点向 $q$ 点发射一束光，$q$ 点置一镜，将光反射回 $p$ 点。则光从发射至抵达反射镜之过程满足
\begin{equation}\label{eq:光从发射至抵达反射镜之过程}
\begin{aligned}
0 ={}& g_{\mu \nu} \dd[]{x^{\mu}} \dd[]{x^{\nu}}\\
={}& g_{00} \qty(\dd[]{x^{0}})^2 + 2 g_{0i} \dd[]{x^{0}} \dd[]{x^{i}} + g_{ij} \dd[]{x^{i}} \dd[]{x^{j}}.
\end{aligned}
\end{equation}
故该过程所经过之坐标时为
\begin{equation}\label{eq:光从发射至抵达反射镜所经过之坐标时}
\begin{aligned}
\dd[]{x^{0}_{p \to q}} = \frac{1}{g_{00}} \qty(-g_{0i} \dd[]{x^{i}} \pm \sqrt{\qty(g_{0i} g_{0j} – g_{00} g_{ij}) \dd[]{x^{i}} \dd[]{x^{j}}}).
\end{aligned}
\end{equation}
与之类似，光从反射镜反射回发射点所经过之坐标时为
\begin{equation}\label{eq:光从反射镜反射回发射点所经过之坐标时}
\begin{aligned}
\dd[]{x^{0}_{q \to p}} = \frac{1}{g_{00}} \qty(g_{0i} \dd[]{x^{i}} \pm \sqrt{\qty(g_{0i} g_{0j} – g_{00} g_{ij}) \dd[]{x^{i}} \dd[]{x^{j}}}).
\end{aligned}
\end{equation}
故一来一回之总坐标时为
\begin{equation}\label{eq:光一来一回所经过之总坐标时}
\begin{aligned}
\dd[]{x^{0}_{\mathrm{tot}}} ={}& \dd[]{x^{0}_{p \to q}} + \dd[]{x^{0}_{q \to p}}\\
={}& \pm \frac{2}{g_{00}} \sqrt{\qty(g_{0i} g_{0j} – g_{00} g_{ij}) \dd[]{x^{i}} \dd[]{x^{j}}}.
\end{aligned}
\end{equation}
设该过程在局域瞬时静止观者系内所经过之本征时为 $\dd[]{X^{0}_{\mathrm{tot}}}$，则
\begin{equation}\label{eq:光一来一回所经过之总本征时与坐标时之关系}
\begin{aligned}
\eta_{00} \qty(\dd[]{X^{0}_{\mathrm{tot}}})^{2} ={}& g_{00} \qty(\dd[]{x^{0}_{\mathrm{tot}}})^{2}.
\end{aligned}
\end{equation}
故而
\begin{equation}\label{eq:光一来一回所经过之总本征时}
\begin{aligned}
\qty(\dd[]{X^{0}_{\mathrm{tot}}})^{2} ={}& \frac{g_{00}}{\eta_{00}} \qty(\dd[]{x^{0}_{\mathrm{tot}}})^{2}\\
={}& \frac{4}{\eta_{00} g_{00}} \qty(g_{0i} g_{0j} – g_{00} g_{ij}) \dd[]{x^{i}} \dd[]{x^{j}}\\
={}& \frac{4}{\eta_{00}} \qty(\frac{g_{0i} g_{0j}}{g_{00}} – g_{ij}) \dd[]{x^{i}} \dd[]{x^{j}}.
\end{aligned}
\end{equation}
如前所述，在局域瞬时静止观者系内定义 $p$ 与 $q$ 之间之空间距离，
\begin{equation}\label{eq:两点之间之空间距离}
\begin{aligned}
\dd[]{l} \equiv {}& \frac{\abs{\dd[]{X^{0}_{\mathrm{tot}}}}}{2}.
\end{aligned}
\end{equation}
故
\begin{equation}\label{eq:两点之间之空间距离平方}
\begin{aligned}
\dd[]{l}^{2} ={}& \frac{\qty(\dd[]{X^{0}_{\mathrm{tot}}})^{2}}{4}\\
={}& \frac{1}{\eta_{00}} \qty(\frac{g_{0i} g_{0j}}{g_{00}} – g_{ij}) \dd[]{x^{i}} \dd[]{x^{j}}\\
={}& \gamma_{ij} \dd[]{x^{i}} \dd[]{x^{j}},
\end{aligned}
\end{equation}
其中 $\gamma_{ij} \equiv \frac{1}{\eta_{00}} \qty(\frac{g_{0i} g_{0j}}{g_{00}} – g_{ij})$ 即为纯空间度规，若分别选择东海岸约定与西海岸约定^[1]，则可得到与文献 [2] 中从微分几何得到之相同结果。

以上做法得以成立之充要条件为（wéi）何？两点：

• $\qty(\dd[]{X^{0}_{\mathrm{tot}}})^{2}$ 与 $\qty(\dd[]{x^{0}_{\mathrm{tot}}})^{2}$ 均为正实数；
  
• $\dd[]{l}^{2}$ 为正实数。
  

由此引出两个条件：

• $\frac{g_{00}}{\eta_{00}} > 0$；
  
• $\qty(\gamma_{ij})$ 正定。
  

先引入一个线性代数中常见之结论，设方阵 $M = \left(\begin{array}{c:c}A & B \\ \hdashline C & D\end{array}\right)$，其中 $A$ 与 $D$ 均为方阵，且 $A$ 可逆。则 $\det{\qty(M)} = \det{\qty(A)} \det{\qty(D – C A^{-1} B)}$。其证明不难，我们构造一个下三角矩阵 $L \equiv \left(\begin{array}{c:c}I & 0 \\ \hdashline -C A^{-1} & I\end{array}\right)$，其作用是消去 $M$ 中之 $C$ 块：
\begin{equation}\label{eq:消去M中之C块}
\begin{aligned}
LM ={}& \left(\begin{array}{c:c}I & 0 \\ \hdashline -C A^{-1} & I\end{array}\right) \left(\begin{array}{c:c}A & B \\ \hdashline C & D\end{array}\right)\\
={}& \left(\begin{array}{c:c}A & B \\ \hdashline 0 & D – C A^{-1} B\end{array}\right),
\end{aligned}
\end{equation}
因而
\begin{equation}\label{eq:消去M中之C块后之行列式}
\begin{aligned}
\det{\qty(LM)} ={}& \det{\qty(L)} \det{\qty(M)}\\
={}& 1 \cdot \det{\qty(M)}\\
={}& \det{\qty(M)}\\
={}& \det{\left(\begin{array}{c:c}A & B \\ \hdashline 0 & D – C A^{-1} B\end{array}\right)}\\
={}& \det{\qty(A)} \det{\qty(D – C A^{-1} B)}.
\end{aligned}
\end{equation}
通过式 \eqref{eq:消去M中之C块后之行列式}，即可知，
\begin{equation}\label{eq:时空度规行列式与空间度规行列式之关系}
\begin{aligned}
\det{\qty(g_{\mu \nu})} ={}& g_{00} \det{\qty(g_{ij} – \frac{g_{i0} g_{0j}}{g_{00}})}\\
={}& \qty(-\eta_{00})^{D} g_{00} \det{\qty(\gamma_{ij})}.
\end{aligned}
\end{equation}
若将 $\qty(g_{\mu \nu})$ 之 $k$ 阶主子式 $\begin{vmatrix}g_{00} & g_{01} & \cdots & g_{0, k – 1}\\g_{10} & g_{11} & \cdots & g_{1, k – 1}\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\g_{k – 1, 0} & g_{k – 1, 1} & \cdots & g_{k – 1, k – 1}\\\end{vmatrix}$ 记为 $g^{\qty(k)}$，将 $\qty(\gamma_{ij})$ 之 $k$ 阶主子式 $\begin{vmatrix}\gamma_{11} & \cdots & \gamma_{1, k}\\\vdots & \ddots & \vdots\\\gamma_{k1} & \cdots & \gamma_{k, k}\\\end{vmatrix}$ 记为 $\gamma^{\qty(k)}$，则按照与式 \eqref{eq:时空度规行列式与空间度规行列式之关系} 相同之证明方法，可知
\begin{equation}\label{eq:时空度规主子式与空间度规主子式之关系}
\begin{aligned}
g^{\qty(k)} ={}& \qty(-\eta_{00})^{k – 1} g_{00} \gamma^{\qty(k – 1)}, k = 1, \cdots, d.
\end{aligned}
\end{equation}
式 \eqref{eq:时空度规行列式与空间度规行列式之关系} 即为 式 \eqref{eq:时空度规主子式与空间度规主子式之关系} 取 $k = d = D + 1$ 之特例。由于 $\frac{g_{00}}{\eta_{00}} > 0$，因而 $g_{00}$ 与 $\eta_{00}$ 均不为零且同号。故式 \eqref{eq:时空度规主子式与空间度规主子式之关系} 可写为
\begin{equation}\label{eq:空间度规主子式与时空度规主子式之关系}
\begin{aligned}
\gamma^{\qty(k – 1)} ={}& \frac{g^{\qty(k)}}{\qty(-\eta_{00})^{k – 1} g_{00}}, k = 1, \cdots, d.
\end{aligned}
\end{equation}
若要求 $\qty(\gamma_{ij})$ 正定，则 $\qty(\gamma_{ij})$ 之各阶主子式 $\gamma^{\qty(k)}$ 均为正（二次型正定之充要条件），从而
\begin{equation}\label{eq:空间度规主子式之正定条件对时空度规主子式之要求}
\begin{aligned}
\frac{g^{\qty(k + 1)}}{\qty(-\eta_{00})^{k} g_{00}} >{}& 0, k = 0, \cdots, D.
\end{aligned}
\end{equation}
将式 \eqref{eq:空间度规主子式之正定条件对时空度规主子式之要求} 改写为
\begin{equation}\label{eq:空间度规主子式之正定条件对时空度规主子式之要求变形}
\begin{aligned}
\frac{g^{\qty(k + 1)}}{\qty(-\eta_{00})^{k} g_{00}} ={}& – \frac{\eta_{00}}{g_{00}} \frac{g^{\qty(k + 1)}}{\qty(-\eta_{00})^{k + 1}} \\
>{}& 0, k = 0, \cdots, D.
\end{aligned}
\end{equation}
由于要求 $\frac{g_{00}}{\eta_{00}} > 0$，从而
\begin{equation}\label{eq:空间度规主子式之正定条件对时空度规主子式之要求变形后简化}
\begin{aligned}
\frac{g^{\qty(k)}}{\qty(-\eta_{00})^{k}} <{}& 0, k = 1, \cdots, d.
\end{aligned}
\end{equation}
式 \eqref{eq:空间度规主子式之正定条件对时空度规主子式之要求变形后简化} 即为所选之坐标可充当通常之时空坐标之充要条件。若选择东海岸约定，则将式 \eqref{eq:空间度规主子式之正定条件对时空度规主子式之要求变形后简化} 具体写出来即为
\begin{equation}\label{eq:东海岸约定下所选之坐标可充当通常之时空坐标之充要条件}
\begin{aligned}
& g_{00} < 0;\\
& \begin{vmatrix}g_{00} & g_{01} \\ g_{10} & g_{11}\end{vmatrix} < 0;\\
& \vdots\\
& \begin{vmatrix}g_{00} & g_{01} & \cdots & g_{0D} \\ g_{10} & g_{11} & \cdots & g_{1D} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ g_{D0} & g_{D1} & \cdots & g_{DD}\end{vmatrix} < 0.
\end{aligned}
\end{equation}
若选择西海岸约定，则将式 \eqref{eq:空间度规主子式之正定条件对时空度规主子式之要求变形后简化} 具体写出来即为
\begin{equation}\label{eq:西海岸约定下所选之坐标可充当通常之时空坐标之充要条件}
\begin{aligned}
& g_{00} > 0;\\
& \begin{vmatrix}g_{00} & g_{01} \\ g_{10} & g_{11}\end{vmatrix} < 0;\\
& \begin{vmatrix}g_{00} & g_{01} & g_{02} \\ g_{10} & g_{11} & g_{12} \\ g_{20} & g_{21} & g_{22}\end{vmatrix} > 0;\\
& \vdots
\end{aligned}
\end{equation}